1. Encontrando a Reta
A regressão linear busca mapear a relação entre uma variável preditora (independente, no eixo \(X\)) e uma variável de desfecho (dependente, no eixo \(Y\)).
Para entender este conceito na prática clínica, imagine um estudo que avalia o efeito de um novo medicamento anti-hipertensivo:
Eixo \(X\) (Variável Preditora): Dose do medicamento administrada (em mg).
Eixo \(Y\) (Variável Desfecho): Redução observada na Pressão Arterial Sistólica (PAS, em mmHg).
O nosso objetivo é traçar uma linha reta que consiga prever, com a maior precisão possível, quantos mmHg a pressão de um paciente deve cair com base na dose que ele recebeu.
1.1. O que são Resíduos?
Mesmo com um ótimo modelo, a reta não passará perfeitamente por cima de todos os pontos coletados no estudo, pois cada paciente responde de forma ligeiramente diferente ao tratamento. É aqui que entram os resíduos.
Definição: Resíduos são as distâncias verticais entre o valor real observado no dado e o valor predito pela nossa reta de regressão. Eles representam o erro do modelo.
Matematicamente, o resíduo \(e_i\) para um paciente \(i\) é expresso por:
\[e_i = y_i - \hat{y}_i\]
Onde \(y_i\) é a redução real da pressão arterial e \(\hat{y}_i\) é o valor estimado pela reta.
Resíduos Positivos (+): O ponto real está acima da reta (a redução da pressão do paciente foi maior do que o modelo previu).
Resíduos Negativos (-): O ponto real está abaixo da reta (a redução da pressão do paciente foi menor do que o modelo previu).
Se apenas somássemos os resíduos diretamente, os valores positivos anulariam os negativos (dando a falsa impressão de que o erro total é próximo de zero). Para contornar isso, elevamos cada resíduo ao quadrado, tornando todos os valores positivos antes de somá-los.
\[\text{deviation} = \sum (\text{observed} - \text{model})^2\]
1.2. O Método dos Mínimos Quadrados
Para encontrar a reta ideal, o algoritmo utiliza o Método dos Mínimos Quadrados (em inglês, Ordinary Least Squares - OLS). O processo segue a seguinte lógica iterativa:
Testar Inclinações e Intersecções: O algoritmo simula diferentes inclinações (coeficiente angular, que dita o efeito por mg) e pontos de partida no eixo Y (coeficiente linear, que dita o efeito basal).
Calcular a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR): Para cada reta testada, calcula-se a métrica: \[SQR = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2\]
Minimização: O algoritmo plota a variação da SQR para cada rotação da linha. A reta final escolhida será rigorosamente aquela que apresentar a menor soma dos quadrados dos resíduos.
Dessa forma, garantimos estatisticamente o modelo que melhor descreve o comportamento biológico do nosso dado.
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